道外から知人が訪れて来たので、久しぶりに登別温泉に宿泊して来ました。
多分２０年以上宿泊しに行っていなかったと思います。
登別と言えば「クマ牧場」のコマーシャルに従ってクマ牧場と４年前に完成した「ウポポイ」の施設をご案内して来ましたが、結構観光客（インバウンド）が多くて驚きました。
また、登別近辺には水族館、時代村、地獄谷と観光する場所が多くある事を再認識しました。
住んでいると身近にあり、当たり前になり過ぎている事で、観光地の事はしっかりと見ていない証拠ですね。
何れにしても、たまには何も考えずに温泉にゆっくり浸るのも良いですね。
心が洗われます。
最近はサウナがブームの様ですが、「ととのう」と言う状況は、まだ良く解りませんが、何故かとりあえずサウナ室には入ってしまいますね。
寒くなります、ご自愛いただけますと幸いです

　前回は直線定規場上の上に薬びんの蓋に鉛筆をつけて転がし、その鉛筆が描く軌跡を求めました。今回は丸い皿をおき、その周りを薬びんにやはり鉛筆を転がした時の軌跡を考えます。実際の歯車は基礎円と呼ぶ円の周りに基礎円より小さな円を転がしたときにできる曲線を歯型として採用しています。基礎円の外側を転がして得られる曲線をエピ（外）サイクロイドと名付けています。

前回同様に最初に十字形にクロスする座標軸を作ります。横軸をx軸、縦軸をy軸とします。座標軸の原点をOとし、点Oを中心とした半径Rの基礎円（皿の円）を描きます。この円とx軸と交差する上方の交点を点Aとします。x軸の点Aから距離rの上方の点を中心に半径rの円を描きます。これが薬びんの蓋にそうとします。この半径rの円を時計回りに基礎円に接するように二つの円の接点が原点から角θまで回転させます。に接するように半径aの円を描きます。この円をx軸上で回転させ、制止させたとします。この時に出発した円の原点Oとの接点が回転して動いた円上の点をPとします。点Aから点Pの軌跡が求めるサイクロイド曲線となります。点Pから下ろしたx軸に下ろした垂線との交点をBとし、点Pからx軸に並行に引いた直線とy軸の交点をCとします。制止させた円の中心をGとします。この時に回転した円の回転角度∠OGPをψとします。そうすると
　　 θ = ∠AOG
　　　ψ = ∠CGP
となります。
　点Pの座標がサイクロイドの軌跡を描く座標となります。まずx軸を求めます。回転した円の中心点Gから下ろした垂線とx軸の交点をDとし、中心点Gからx軸に並行に引いた直線とy軸の交点をEとします。そうすると点Pのx座標は
　　　x = OD - BD
から求められます。OD = (R + r) sinθはとなります。ここで∠EGP= φとしますと
BD = PG cosφ
となり、
　　　x = (R + r) sinθ− r cosφ
が得られます。φは
　　　φ= ∠EGP = ∠DGP−π/2 =θ+ψ−π/2
となります。ここでπ/2はラジアンの単位の角度で90°を示しています。
少し面倒そうですが三角関数の計算をすると
　　　cosφ = cos（θ+ψ−π/2）= −sin（θ+ψ）
ですので、
　　　x = (R + r) sinθ＋ r sin（θ+ψ）
が得られます。
　次に点Pのy座標を求めます。
　　　y = OE + EC
となります。OE = OG cosθ= (R +r) cosθ、EC = PG sinφ=r sinφとなりますから
　　　y = (R +r) cosθ+ r sinφ
が得られます。φ=θ+ψ−π/2からsinφは三角関数の計算をしてsinφ＝cos（θ+ψ）となりますから
　　　y = (R +r) cosθ+ r cos（θ+ψ）
が得られます。
ところで基礎円上を薬びんの点AがPまで角度ψ回転した弧長の長さは、基礎円上で点Aが角度θ回転し回転した薬びんと接している点までの基礎円の弧長と等しいので
　　　Rθ= rψ
です（角度がラジアンの時は、弧長＝半径・角度になります）。これから
　　　ψ = R/rθ
を得ることができます。これを先ほど求めた点Pのx、y座標に代入すると
　　　x = (R + r) sinθ＋ r sin（[R＋r）/r]θ）
　　　y = (R +r) cosθ+ r cos（[R＋r）/r]θ）
となります。これでθを0から変化させるとエピ（外）サイクロイド曲線を作ることができます。

　歯車の一点に力がかかるとこの力は歯車の曲線の接線方向と接線に直行する法線方向に分解できます。従って、歯車の法線方向に力が作用します。上で求めた式から接戦を求め、接線に直行する方向として法線を求めることができます。この法線方向に直線を引くとこの直線は基礎円と薬びんの接点を通過します。これから歯車にかかる力は常に基礎円と薬びんの接点に向かっています。
　実際の歯車の曲線はピッチ円と呼ばれるところから外側の曲線がエピ（外）サイクロイド曲線とし、基礎円からピッチ円までがハイポ（内）サイクロイド曲線で作成し、二つのサイクロイド曲線を繋いでいます。ハイポ（内）サイクロイド曲線とは基礎円の内側に薬びんを接しながら回転させて作る曲線です。

　エピ（外）サイクロイド曲線を基礎円に沿って一周させると花びらのような模様になります。基礎円の半径Rと薬びんの半径rを変えると色々な面白い模様が得られます。また、エピ（外）サイクロイド曲線を
　　　x = (R + r) sinθ＋ α sin（[R＋r）/r]θ）
　　　y = (R +r) cosθ+ α cos（[R＋r）/r]θ）
のように一般化する（２項目の半径rをαに変え、もう一つのパラメータとする）とコイルを基礎円に巻いたような模様を得ることができます。興味があれば是非プログラムで描いてみてください。

先々月のブログでは秋はゆっくりとが良いということを書かせてもらいましたが、私の希望通り季節はゆっくりと進み北海道では初雪の声も聞かれるようになってきました。
色づいていた木々の葉も徐々に落ち葉に変わりやがて冬の訪れとなります。

さて、秋の深まりとともに下期を迎えて、全社で下期のキックオフを行い、各部からの上期の振り返りと下期の展望、生産性効率化などのテーマで発表がありました。
またキックオフ後には、懇親会そして二次会と社員の皆さんとコミュニケーションを取ることが出来て、若手社員の皆さんの持つエネルギーを頼もしく感じました。

今回のイベントで、若手社員の皆さんのエネルギーに触れ、改めて会社の未来を感じることができました。
社員の皆さんの持つ無限の可能性に期待しつつ、成長を力強くサポートしていきたいと思います。

　下期が始まりました。おかげさまで上期はほぼ予算通りに進める事が出来ました。
お世話になりました皆様に感謝申し上げます。
さて、秋も深まりました、札幌でも初雪が観測されましたが、北海道のゴルフシーズンは一カ月も経たずしてクローズになります。
良くおやりになる方は道外でもプレイされる事は当たりまえの事なのでしょうが、私はほぼ道内のみです、従ってクローズから来年のオープン（５月頃）迄、ゴルフクラブは物置に仕舞われます。
　それでも今年は２度、道外に遠征させて頂きました。（実は２度目は今週プレイしています）
この時期、道内（札幌）の日中の平均気温は１３度程度ですので、道外との気温差は大きいところで１０度程度発生します。朝晩の冷え込みを考えたらもっと差が発生しますね。
着る服も少々悩ましいですが、いずれにしても久しぶりの道外でのゴルフなので楽しみたいと思います。
慣れないのはハーフで昼食を食べるので、後半はどうしても体が重たくなってしまいます、言い訳ですが・・・。
北海道は紅葉が進み、本格的に雪が降る準備段階に入りました。
タイヤ交換もしなければなりませんね。
下期も引き続き宜しくお願いします。

　前回のブログで糸巻き曲線―インボリュート－について歯車の歯先の曲線に使用されていることを述べました。少し調べると歯車の歯先にはサイクロイド曲線と呼ばれるもう一つの曲線が出てきます。これも面白そうだと思い、その曲線の数式の導出を試みてみました。

　薄いA4の雑誌の表紙にA４の白紙を重ね、その長辺の一つ30cmの定規をクリップで固定します。薬びんの蓋（薬瓶でなくとも丸いものであればなんでもいいのですが）の周りの１点に鉛筆の芯を固定して貼り付けます。鉛筆の先は円錐形で先を蓋の端にピタッと合わせると鉛筆は斜めになって蓋との間に隙間ができますので、テッシュを小さく切って少し揉んで隙間を埋め、そこをやはりセロテープで固定します。鉛筆の芯を定規に接触させ時計周りに薬びんを回転させて行きます。その時、薬びんを一蹴させると鉛筆の芯は蒲鉾のような曲線を描きます。この蒲鉾曲線をサイクロイド曲線と言います。

　このサイクロイド曲線を数式で導いていきます。最初に十字形にクロスする座標軸を作ります。横軸をx軸、縦軸をy軸とします。次に座標軸の原点をOとし、点Oに接するように半径aの円を描きます。この円をx軸上で回転させ、制止させたとします。この時に出発した円の原点Oとの接点が回転して動いた円上の点をPとします。点Pの軌跡がサイクロイド曲線となります。点Pから下ろした垂線とx軸の交点をAとし、点Pからx軸に並行に引いた直線とy軸の交点をBとします。制止させた円の中心をGとし、Gから下ろした垂線とx軸の交点をC、点Gからx軸に並行に引いた直線とy軸の交点をDとします。この時に円が回転した角度をθとします。そうすると
　　　θ = ∠CGP
∠は線分CGと線分GPの作る角度を意味します。

　点Pのx軸の座標xは
　　　x = OC - AC
となります。θにはインボリュート曲線の時に述べたラジアンの単位を使用します。OCの大きさは円が回転したときの点OがPに転がった長さになります。これは円弧の長さCPになりますから
円弧CPの長さ= aθ
となり
OC = aθ
となります。

ACはθがπ/2（直角、ラジアンの単位を使用）より小さい時は、
AC = GP sinθ = a sinθ
となります（GPは回転円の半径です）。
　また、ACはθがπ/2（直角、ラジアンの単位を使用）より大きい時は、∠PGDをψとすると
　　AC = GPcosψ = a cosψ
となります。ここで
　　ψ= ∠CGP - ∠CGD
= ∠CGP - π/2
= θ - π/2
ですから、cosψ = cos(θ - π/2) = cos (π/2 - θ) = sinθ
から、やはり
　　AC = a sinθ
となります。従って、どちらの場合も
　　 x = OC - AC
= aθ - a sinθ
となります。

　点Pのy軸の座標yは、θがπ/2より小さい時は
　　y = OD - OB
となります。
　　OD = a
　　OB = GP sinθ=a cosθ
となります。
　点Pのy軸の座標yは、θがπ/2より大きい時は
　　y = OD + OB
となります。
　　OD = a
　　OB = GP sinψ
となり、sinψ = sin(θ - π/2) = - sin(π/2 - θ) = cosθからOB = GP cosθ = a cosθとなります。これらからどちらの場合も
　　y = a - a cosθ
が得られます。まとめると
　　x = a(θ- sinθ)
　　y = a(1 - cosθ)
となり、サイクロイド曲線が求まります。

　ところで歯車にサイクロイド曲線が使われたとして他の歯車の力が点Pに加わった時、その力はどこに向かうかを調べてみます。点にかかる力をベクトルFとすると、この力は点Pの接線方向の力Ftと法線（接線と垂直な直線）方向の力Fnに
　　F = Ft + Fn
のように分解できます。法線方向が点Pにかかる力Fnとなります。

　点Pの接線ベクトルをTとすると
　　T = [ dx/dθ dy/dθ]
となります。これを計算すると
　　dx/dθ= a(1 - cosθ)
　　dy/dθ=a sinθ
が得られます。法線ベクトルをNとし
　　N = [ Nx Ny ]
とすると接線ベクトルと法線ベクトルは直行しますから、二つのベクトルTとNの内積は0となり
　　dx/dθ・Nx + dy/dθ・Ny = 0
が成立します。dx/dθ、dy/dθの値を代入すると
　　a(1 - cosθ)・Nx + a sinθ・Ny = 0
となります。この式を満たす一番簡単なNxとNyの値は
　　Nx = sinθ
　　Ny = -1 + cosθ
となります。

点Pの位置ベクトルをPとすれば、法線上の直線の点R = [ X Y ]は媒介変数tを用いて
　　R = P + t N
で表せます。これから
　　[ X Y ] = [x y ] + t [Nx Ny ]
となり、ベクトルのそれぞれの要素を計算すると
　　X = a(θ- sinθ) + t sinθ= aθ- (a- t)sinθ
　　Y = a(1 - cosθ) + t(-1 + cosθ) = ( a-t ) - (a - t)cosθ
となります。ここでt = aとおくと、[ X Y ] = [ aθ 0]となり、この点は転がった円がx軸と接している点Cに一致します。これから点Pにかかる力Fnは点Pから円とx軸の接点Cに向かってかかることが分かります。

　実際の歯車に使用されているサイクロイド曲線は、直線の定規を円が転がるのではなく、丸い鍋敷きのような円の輪郭に沿って缶ビールのような円が転がった時に、缶ビールに印をつけた点の軌跡が使用されています。そのようなサイクロイド曲線を示そうと思いましたが、すでに紙面が一杯ですので次回に廻したいと思います。今回も三角関数とベクトルの力を借りてしまいました。これらが苦手な方は読み飛ばして下さい。